在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，分別為BC，CD的中點(diǎn)，、分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐，如圖所示.

（1）在三棱錐中，求證：；

（2）求四棱錐的體積.

 

【答案】

（1）在三棱錐中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602312537096445/SYS201205260232568084647759_DA.files/image002.png">，，，

所以.   又，所以．………………6分

（2）因?yàn)樵?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602312537096445/SYS201205260232568084647759_DA.files/image008.png">中，、分別為、的中點(diǎn)，

所以四邊形的面積是面積的. ………………8分

又三棱錐與四棱錐的高相等，

所以，四棱錐的體積是三棱錐的體積的，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602312537096445/SYS201205260232568084647759_DA.files/image017.png">，所以．………………10分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602312537096445/SYS201205260232568084647759_DA.files/image019.png">

所以，故四棱錐的體積為．

【解析】(1)圖形的翻折問(wèn)題，要注意折前折后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)有變化。

本小題可以證明：即可.

（2）求體積可以直接求，也可以通過(guò)求其占整個(gè)錐體的體積比也可。整個(gè)錐體的體積易求。本小題易采用后者。

 

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e1＜e2=e3
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．

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