Question

已知a∈R，求函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，解不等式導(dǎo)數(shù)大于零得原函數(shù)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零得減區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=

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x³-ax²，
∴f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），為二次函數(shù)，圖象開口向上，有兩零點0和2a，
當a=0時，令f′（x）=x²≥0，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
當a＞0時，x＜0或x＞2a時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，0＜x＜2a時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2a，+∞），減區(qū)間為（0，2a），
當a＜0時，x＞0或x＜2a時f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，2a＜x＜0時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2a）和（0，+∞），減區(qū)間為（2a，0）．

點評：對于可導(dǎo)函數(shù)的極值點理解必須從兩個方面，一是導(dǎo)數(shù)為零，二是兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號；求單調(diào)區(qū)間就是解導(dǎo)數(shù)不等式，注意若同為增區(qū)間不止一個，要用逗號隔開．