在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，△AOB的內(nèi)切圓為⊙M．
（1）如果⊙M半徑為1，l與⊙M切于點(diǎn)C(
3
2
，1+
3
2
)，求直線l的方程；
（2）如果⊙M半徑為1，證明當(dāng)△AOB的面積、周長(zhǎng)最小時(shí)，此時(shí)△AOB為同一三角形；
（3）如果l的方程為x+y-2-
2
=0，P為⊙M上任一點(diǎn)，求PA2+PB2+PO2的最值．
分析：（1）先求得圓心與切點(diǎn)連線的斜率kMC=
3
再由兩者互為負(fù)倒數(shù)求得kl=-
3
3
．進(jìn)而求得直線l的方程；
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直線AB的方程為：：bx+ay-ab=0．圓心到該直線的距離為d=
|b+a-ab|
a2+b2
=1，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得ab+2=2(a+b)≥4
ab
，
ab≥6+4
2
．三角形面積S=
1
2
ab≥3+2
2
，周長(zhǎng)L=a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
=(2+
2
)
ab
≥(2+
2
)2=6+4
2
．取得最值的條件一致．所以△AOB為同一三角形．
（3）l的方程為x+y-2-
2
=0，解得A(2+
2
，0)，B(0，2+
2
)，P（m，n）為圓上任一點(diǎn)，PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2
2
)(m+n)+2(2+
2
)2=(9+8
2
)-(2
2
-2)(m+n)．
又因?yàn)椋╩-1）2+（n-1）2=1，m2+n2=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥
(m+n-2)2
2
，所以2-
2
≤m+n≤2+
2
代入上式求解即可．
解答：解：（1）kMC=
3
，（1分），kl=-
3
3
．l：y=-
3
3
x+
3
+1．
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0.d=
|b+a-ab|
a2+b2
=1，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，ab+2=2(a+b)≥4
ab
，
ab
≥2+
2
，（6分）
ab≥6+4
2
．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+
2
時(shí)，ab=6+4
2
．
面積S=
1
2
ab≥3+2
2
，
此時(shí)△AOB為直角邊長(zhǎng)為2+
2
的等腰直角三角形．
周長(zhǎng)L=a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
=(2+
2
)
ab
≥(2+
2
)2=6+4
2
．
此時(shí)△AOB為直角邊長(zhǎng)為2+
2
的等腰直角三角形．
∴此時(shí)的△AOB為同一三角形．

（3）l的方程為x+y-2-
2
=0，得A(2+
2
，0)，B(0，2+
2
)，
⊙M：（x-1）2+（y-1）2=1，設(shè)P（m，n）為圓上任一點(diǎn)，
則：（m-1）2+（n-1）2=1，m2+n2=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥
(m+n-2)2
2
，2-
2
≤m+n≤2+
2
．PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2
2
)(m+n)+2(2+
2
)2=(9+8
2
)-(2
2
-2)(m+n)．
當(dāng)m+n=2-
2
時(shí)，(PA2+PB2+PO2)max=(9+8
2
)-(2
2
-2)(2-
2
)=17+2
2
．
此時(shí)，m=n=1-
2
2
．
當(dāng)m+n=2+
2
時(shí)，(PA2+PB2+PO2)min=(9+8
2
)-(2
2
-2)(2+
2
)=9+6
2
．
此時(shí)，m=n=1+
2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，還考查了用解析法研究三角形面積，周長(zhǎng)及線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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