分析 (I)利用直接法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(II)設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d1、d2,則 d12+d22 =2,代入面積公式S=$\frac{1}{2}$|AC|BD|,使用換元、配方法求出四邊形ABCD的面積的取值范圍.
解答 解:(I)由題意,$\sqrt{\frac{{(x-1{)^2}+{y^2}}}{{(x-4{)^2}+{y^2}}}}=\frac{1}{2}$…..(1分)
化簡(jiǎn)得x2+y2=4 …..(4分)
(II)設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2,做OE⊥BD,OF⊥AC,則四邊形OEMF為矩形,
又M(1,1),所以${d_1}^2+{d_2}^2=2$,$|{AC}|=2\sqrt{4-{d_1}^2},|{BD}|=2\sqrt{4-{d_2}^2}$.
則四邊形ABCD的面積為:S=$\frac{1}{2}$|AC|BD|,又${d_2}^2=2-{d_1}^2$,
所以$S=2\sqrt{({4-{d_1}^2})({4-2+{d_1}^2})}=2\sqrt{({4-{d_1}^2})({2+{d_1}^2})}$,…..(7分)
令${r6c4cja_{1}}^{2}$=t,則0≤t≤2,從而$S=2\sqrt{({4-t})({2+t})}=2\sqrt{-{t^2}+2t+8}({0≤t≤2})$.對(duì)于函數(shù)y=-t2+2t+8,其對(duì)稱(chēng)軸為t=1,根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì),ymax=9,ymin=8,即$M={S_{max}}=6,N={S_{min}}=4\sqrt{2}$,所以四邊形ABCD面積的取值范圍為$[{4\sqrt{2},6}]$…(12分)
點(diǎn)評(píng) 此題考查軌跡方程的求法,看下學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用,靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值,是一道中檔題.解答關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對(duì)角線長(zhǎng)度之積的一半來(lái)計(jì)算.
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A. | -2 | B. | -$\frac{5}{3}$ | C. | -$\frac{1}{3}$ | D. | 1 |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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A. | -4 | B. | -3 | C. | -2 | D. | -1 |
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