2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$+1．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上遞減；
（2）記函數(shù)g（x）=f（x+1）-1，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并加以證明．

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明，
（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進行證明判斷．

解答 證明：（1）設(shè)x1＞x2＞1，
則f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
則x2-x1＜0，x1-1＞0，x2-1＞0，
則f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上遞減．
（2）g（x）=f（x+1）-1=$\frac{1}{x+1-1}$+1-1=$\frac{1}{x}$，則g（x）是奇函數(shù)，
證明如下：∵g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點對稱，
g（-x）=-$\frac{1}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{24}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點B，A兩點．若△ABF2為等邊三角形，則△BF1F2的面積為（　　）
A．8B．8$\sqrt{2}$C．8$\sqrt{3}$D．16

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，有下列四個命題：
①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；
②若α∥γ，β∥γ，則α∥β；
③若m?α，n?β，m∥n，則α∥β；
④若m，n是異面直線，m?α，n?β，n∥α，m∥β，則α∥β．
其中正確的命題有①②④．（填寫所有正確命題的編號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．已知函數(shù)y=sinx+acosx的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對稱，則函數(shù)y=asinx+cosx的圖象的一條對稱軸是（　　）
A．x=$\frac{5π}{6}$B．x=$\frac{2π}{3}$C．x=$\frac{π}{3}$D．x=$\frac{π}{6}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+an+1+an+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N*），數(shù)列前n項和為Sn，則S2016=-336．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=2cos2$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-1，x∈R．
（I）求使得取f（x）得最大值的x的取值集合；
（II）若g（x）=x+f（x），求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．S=（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1）+1，則合并同類項后S=（　�。�
A．（x-2）5B．（x+1）5
C．x5D．x5+5x4+10x3+10x2+5x+1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知動點M（x，y）到點E（1，0）的距離是它到點F（4，0）的距離的一半．
（I）求動點M的軌跡方程；
（II）已知點A，C，B，D是點M軌跡上的四個點，且AC，BD互相垂直，垂足為M（1，1），求四邊形ABCD面積的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．（1）在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，已知Sn=2n2-3n+2；求通項an．
（2）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=2an+3，n∈N*，求通項an．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案