Question

【題目】綜合題。
（1）現(xiàn)有5名男生和3名女生．若從中選5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少種不同的排法？
（2）從{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任選三個(gè)不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)，問(wèn)能組成多少條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限或第三象限的拋物線？
（3）已知（ +2x）n ， 若展開(kāi)式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：分三步完成：先從3名女生中選出2名，有 種方法，再?gòu)?名男生中選出3名，有 種方法，將選擇出的5人全排列，有 ，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有 =3600種

（2）解：∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴c=0，c只有1種取法；

當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，必開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸在y軸右邊，∴a＜0，b＞0，

∴a可取﹣1，﹣2，﹣3，有3種方法；b可取1，2，3，4，有4種方法，

共得到3×4=12條拋物線．

當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限時(shí)，必開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸在y軸左邊，∴a＞0，b＞0，

即a，b只能在1，2，3，4中取，由于a，b不相同，所以有 種取法，

得到 條拋物線…（8分） 所以共有不同的拋物線條數(shù)為 +12=24條

（3）解：（ +2x）n的若展開(kāi)式通項(xiàng)

∵第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，

∴ ，解得n=7或n=14，

∴當(dāng)n=7時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5，

其中T4= ，T5= ，系數(shù)分別為 ，70．

∴當(dāng)n=14時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8= ，系數(shù)為 =3432

【解析】（1）分三步完成：先從3名女生中選出2名，有 種方法，再?gòu)?名男生中選出3名，有 種方法，將選擇出的5人全排列，有 ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得出．（2）由拋物線過(guò)原點(diǎn)，可得c=0，c只有1種取法．對(duì)頂點(diǎn)分類(lèi)討論：當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，必開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸在y軸右邊，可得a＜0，b＞0．當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限時(shí)，必開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸在y軸左邊，可得a＞0，b＞0，進(jìn)而得出．（3）（ +2x）n的若展開(kāi)式通項(xiàng) ，由第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，可得 ，解得n，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得出．