Question

16．已知函數(shù)f（x）=2cosπx•cos²$\frac{φ}{2}$+sin[（x+1）π]•sinφ-cosπx（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求φ的值及圖中x₀的值：
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上的各點(diǎn)向左平移$\frac{1}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度．再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的$\sqrt{3}$倍．得到函數(shù)g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得f（x）=cos（πx+φ），又圖象過(guò)點(diǎn)（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，由圖象可得：πx₀+$\frac{π}{6}$=2π-$\frac{π}{6}$，即可解得x₀的值．
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$），根據(jù)x的范圍求得πx+$\frac{π}{3}$的范圍，從而求得g（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos（πx）•cos²$\frac{φ}{2}$+sin[（x+1）π]•sinφ-cos（πx）
=cos（πx）•（1+cosφ）-sin（πx）•sinφ-cos（πx）
=cos（πx）•cosφ-sin（πx）•sinφ
=cos（πx+φ），
又由函數(shù)圖象可知，圖象過(guò)點(diǎn)（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cosφ，
∴結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴由圖象可得：cos（πx₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：πx₀+$\frac{π}{6}$=2π-$\frac{π}{6}$，解得：x₀=$\frac{5}{3}$．
（2）∵f（x）=cos（πx+$\frac{π}{6}$），
∴將函數(shù)f（x）的圖象上的各點(diǎn)向左平移$\frac{1}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=cos[π（x+$\frac{1}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（πx+$\frac{π}{3}$）的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的$\sqrt{3}$倍，可得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）的圖象，
∵x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，
∴πx+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cos（πx+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得：g（x）=$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]上的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，其中求φ的值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．