Question

4．已知函數(shù)f（x）=3sinx+mcosx（m＜0），當(dāng)x=α?xí)r，f（x）取得最大值5，則tanα的值為-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）=3sinx+mcosx為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，由已知可得$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（α+θ）=5，解得m，α=2kπ+$\frac{π}{2}$-θ，k∈Z，利用誘導(dǎo)公式即可解得tanα的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3sinx+mcosx=$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{m}{3}$，
∵當(dāng)x=α?xí)r，f（x）取得最大值5，可得：$\sqrt{9+{m}^{2}}$sin（α+θ）=5，
∴$\sqrt{9+{m}^{2}}$=5，m＜0，解得：m=-4，
∴α+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：α=2kπ+$\frac{π}{2}$-θ，k∈Z，
∴tanα=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{3}{m}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．