Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點，AB=AC．
（1）證明：DE⊥平面BCC₁
（2）設(shè)B₁C與平面BCD所成的角的大小為30°，求二面角A-BD-C．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點F，判斷三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，AF⊥面 BCC₁ ，再證明ADEF為矩形，可證得DE⊥
平面BCC₁ ．
（2）設(shè)AB=AC=1，AD=x，作EH⊥DF，∠ECH為B₁C與平面BCD所成的角30°，sin30°=

1

2

=

EH

CE

，求出x的值，作AM⊥BD，連CM，則∠AMC為二面角A-BD-C的平面角，由tan∠AMC=

AC

AM

=

3

2

，求得∠AMC 的大小．

解答：解：（1）證明：取BC的中點F，∵AB⊥AC，AB=AC，∴AF⊥BC．∵AA₁⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱．  AF⊥面 BCC₁ ．∵D、E分別為AA₁、B₁C的中點，
∴DA∥EF，DA=EF，故ADEF為矩形，∴AF∥DE，故 DE⊥平面BCC₁ ．
（2）設(shè)AB=AC=1，AD=x，由（1）可得 BC⊥AD，BC⊥AF，故BC⊥面ADEF，故 平面DBC⊥面ADEF．
作EH⊥DF，H為垂足，則 EH⊥平面DBC，∠ECH為B₁C與平面BCD所成的角30°，
  EH=

ED•EF

DF

=

2 2 x

( 2 2 )2+x2

=

2 x

2+4x2

． 直角三角形CEH中，sin30°=

1

2

=

EH

CE

=

2 x 2+4x2

1 2 2+(2x)2

，
∴x=

2

2

．
由題意得CA⊥面ABD，作AM⊥BD，連CM，則∠AMC為二面角A-BD-C的平面角，AM=

AD•AB

BD

=

3

3

，
tan∠AMC=

AC

AM

=

3

，∴∠AMC=

π

3

，故二面角A-BD-C的大小為 

π

3

．

點評：本題考查證明線面平行的方法，求二面角的大小的方法，求出AD的長，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．