Question

已知函數(shù)f（x）=x³-mx²+3x（m∈R）．
（1）若f（x）在R上是增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）若m=3，且f（x）在區(qū)間[a，b]（a＜b）上的值域是[a，b]，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)f（x）在R上是增函數(shù)，得到f'（x）≥0恒成立，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的△≤0，解不等式求出m的取值范圍
（2）由（1）中結(jié)論可得m=3時(shí)，f（x）在區(qū)間[a，b]上為增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)f（x）在區(qū)間[a，b]（a＜b）上的值域是[a，b]，可得a，b為方程f（x）=x的兩不等根，解方程f（x）=x可得答案．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-mx²+3x
∴f'（x）=3x²-2mx+3…（3分）
若f（x）在R上是增函數(shù)，
則f'（x）≥0恒成立，
故△=4m²-36≤0
故m的取值范圍為-3≤m≤3…（6分）
（2）由（1）知m=3時(shí)，f（x）=x³-3x²+3x在R上是增函數(shù) …（8分）
f（x）在區(qū)間[a，b]（a＜b）上的值域是[a，b]，可得a，b為方程f（x）=x的兩不等根，
若f（x）=x，
則x³-3x²+3x=x
即x³-3x²+2x=0
即x（x-1）（x-2）=0
解得x=0，1，2…（10分）
故…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．