Question

已知a₁=1，當n＞1時a_n＞a₁，（n-3）（a_n）²+3a_n=（n-1）[a（n-1）]²+1（n≥2，n∈N^*），求a_n的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由遞推公式求得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，由此猜想a_n=n．再利用數(shù)學歸納法進行證明即可．

解答： 解：∵a₁=1，當n＞1時a_n＞a₁，
（n-3）（a_n）²+3a_n=（n-1）[a（n-1）]²+1（n≥2，n∈N^*），
∴-a22+3a₂=1+1=2，解得a₂=2，或a₂=1（舍），
3a₃=2×2²+1=9，解得a₃=3，
a42+3a4=3×3²+1=28，解得a₄=4，或a₄=-7（舍），
由此猜想a_n=n．
下面利用數(shù)學歸納法證明：
①a₁=1，成立；
②假設(shè)n=k時成立，即a_k=k，
則當n=k+1時，
（k+1-3）a_k+1²+3a_k+1=（k+1-1）（a_k）²+1，
∴（k-2）a_k+1²+3a_k+1-k³-1=0，
解得a_k+1=k+1，或a_k+1=-

k2-k+1

k-2

（舍），
故a_k+1=k+1，即n=k+1時成立，
由①②，得a_n=n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推公式和數(shù)學歸納法的合理運用．