P、Q是拋物線C:y=x2上兩動點,直線l1,l2分別是C在點P、點Q處的切線,l1∩l2=M,l1⊥l2
(1)求證:點M的縱坐標為定值,且直線PQ經(jīng)過一定點;
(2)求△PQM面積的最小值.
【答案】分析:(1)設(shè)P(x1,x12),Q(x2,.x22),再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,從而得出切線的方程,結(jié)合l1⊥l2得點M的縱坐標為定值,且直線PQ經(jīng)過一定點;
(2)令x1+x2=k,由(1)知點M坐標,直線PQ方程,利用點到直線距離S△PQM的面積,最后利用基本不等式求出面積的最小值即可.
解答:解:(1)設(shè)P(x1,x12),Q(x2,.x22),
又y'=2x
則l1方程為y-x12=2x1(x-x1
即y=2x1x-x12①l2方程為y=2x2x-x22
由①②解得(3分)
由l1⊥l2得2x12x2=-1

所以,(5分)
PQ方程為y-x12=(x1+x2)(x-x1
即y=(x1+x2)x-x1x2

由此得直線PQ一定經(jīng)過點(8分)
(2)令x1+x2=k,
則由(1)知點M坐標
直線PQ方程為(10分)
∴點M到直線PQ距離=.(12分)
,
當k=0時“=”成立,
∴S△PQM最小值為.(15分)
點評:直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高,起到了拉開考生“檔次”,有利于選拔的功能.
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(1)求點M的縱坐標;
(2)直線PQ是否經(jīng)過一定點?試證之;
(3)求△PQM的面積的最小值.

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(2)直線PQ是否經(jīng)過一定點?試證之;
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