Question

14．如圖，圓O為△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，∠ACB的平分線交AD于點(diǎn)H．
（1）求證：CH⊥DE；
（2）若AE=2CE．證明：DC=2DB．

Answer 1

分析 （1）證明∠CEF=∠CFE，所以△CFE為等腰三角形，又因CH為∠ACB的平分線，所以CH⊥EF，即可證明CH⊥DE；
（2）證明DC²=DB•DA，因DE為∠ADC的平分線，AE=2CE．即可證明：DC=2DB．

解答 證明：（1）如圖，
設(shè)DE與BC交于點(diǎn)F，則∠CFE=∠CDF+∠DCF，∠DEC=∠EDA+∠DAE，
因?yàn)镈C為圓O的切線，
所以∠DCF=∠DAE，
又因DE為∠ADC的平分線，
所以∠CDF=∠EDA，
所以∠DEC=∠CFE
即∠CEF=∠CFE，所以△CFE為等腰三角形，
又因CH為∠ACB的平分線，所以CH⊥EF，
即CH⊥DE；
（2）因DC為圓O的切線，
所以DC²=DB•DA，
又因DE為∠ADC的平分線，AE=2CE，
所以$\frac{DC}{DA}=\frac{CE}{AE}$，所以$\frac{DC}{DB}=\frac{DA}{DC}=\frac{AE}{CE}$=2，
即DC=2DB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查等腰三角形的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．