【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,PA=AB=2,點(diǎn)E,F分別為BCPD的中點(diǎn),設(shè)直線PC與平面AEF交于點(diǎn)Q

1)已知平面PAB平面PCD=l,求證:ABl

2)求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)證明AB∥平面PCD,然后利用直線與平面平行的性質(zhì)定理證明ABl;

2)以點(diǎn)A為原點(diǎn),直線AE、ADAP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PCD的法向量和直線AQ的方向向量,然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線AQ與平面PCD所成角的正弦值即可.

1)證明:∵ABCD,AB平面PCD,CD平面PCD

AB∥平面PCD

AB平面PAB,平面PAB平面PCD=l

ABl;

2)∵底面是菱形,EBC的中點(diǎn),且AB=2,

,

AEAD,又PA⊥平面ABCD,則以點(diǎn)A為原點(diǎn),直線AE、AD、AP分別為x、yz軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

,

設(shè)平面PCD的法向量為,有,,得,

設(shè),則,

再設(shè)

,解之得,∴,

設(shè)直線AQ與平面PCD所成角為α

,

∴直線AQ與平面PCD所成角的正弦值為

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

1)若直線平行于直線,且與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程;

2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),求的面積.

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【題目】已知某種氣墊船的最大航速是海里小時(shí),船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用和船速的平方成正比.若船速為海里小時(shí),則船每小時(shí)的燃料費(fèi)用為元,其余費(fèi)用(不論船速為多少)都是每小時(shí)元。甲乙兩地相距海里,船從甲地勻速航行到乙地.

(1)試把船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用,表示為船速(海里小時(shí))的函數(shù),并指出函數(shù)的定義域;

(2)當(dāng)船速為每小時(shí)多少海里時(shí),船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用為多少元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點(diǎn),且,圓的方程是.

1)求雙曲線的方程;

2)過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;

3)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中,隨機(jī)抽取了100名電視觀眾,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示:

文藝節(jié)目

新聞節(jié)目

總計(jì)

2040

30

18

48

大于40

20

32

52

總計(jì)

50

50

100

(1)用分層抽樣方法在收看文藝節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名,大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名?

(2)在上述抽取的5名觀眾中任取2名,求恰有1名觀眾的年齡為大于40歲的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正方形ABCD的邊長為2,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P滿足,若,其中mnR,則的最大值是________

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【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)、),設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且的最大值記為,最小值記為.

1)求(用表示);

2)當(dāng)時(shí),試問以、為長度的線段能否組成一個(gè)三角形,如果不一定,進(jìn)一步求出的取值范圍,使它們能組成一個(gè)三角形;

3)求.

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【題目】如圖所示,為了測量A、B處島嶼的距離,小海在D處觀測,A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測BC處的正北方向,AC處的北偏西45°方向,則AB兩島嶼的距高為___________海里.

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【題目】請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E、FAB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm2

1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積Scm)最大,試問x應(yīng)取何值?

2)若廣告商要求包裝盒容積Vcm)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值。

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