Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求證：面ABD⊥面AOC；
（2）求異面直線AE與CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由于AO⊥平面BCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得AO⊥BD．由于CB=CD，O是BD的中點，利用等腰三角形的性質(zhì)可得CO⊥BD．利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面AOC．再利用面面垂直的判定定理即可得出平面ABD⊥平面AOC．
（2）連接OE，利用三角形的中位線定理可得：OE∥CD．即可得出∠AEO異面直線AE與CD所成角．
在Rt△AOE中，即可得出．

解答：解：（1）∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD．
∵CB=CD，O是BD的中點，
∴CO⊥BD．
又∵AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC．
∴平面ABD⊥平面AOC．
（2）連接OE，則OE∥CD，
∴∠AEO即為異面直線AE與CD所成角．
在Rt△AOE中，
∵OE=1，AO=1，
∴∠AEO=45°
∴異面直線AE與CD所成角為45°．

點評：本題考查了線線、線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、異面直線所成的角，屬于中檔題．