精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大。
分析:(1)由于AO⊥平面BCD,利用線面垂直的性質(zhì)可得AO⊥BD.由于CB=CD,O是BD的中點(diǎn),利用等腰三角形的性質(zhì)可得CO⊥BD.利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面AOC.再利用面面垂直的判定定理即可得出平面ABD⊥平面AOC.
(2)連接OE,利用三角形的中位線定理可得:OE∥CD.即可得出∠AEO異面直線AE與CD所成角.
在Rt△AOE中,即可得出.
解答:解:(1)∵AO⊥平面BCD,∴AO⊥BD.
∵CB=CD,O是BD的中點(diǎn),
∴CO⊥BD.
又∵AO∩OC=O,∴BD⊥平面AOC.
∴平面ABD⊥平面AOC.
(2)連接OE,則OE∥CD,
∴∠AEO即為異面直線AE與CD所成角.精英家教網(wǎng)
在Rt△AOE中,
∵OE=1,AO=1,
∴∠AEO=45°
∴異面直線AE與CD所成角為45°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了線線、線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、異面直線所成的角,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),△ABD和△BCD均為等邊三角形,
AB=2,AC=
6

(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求二面角A-BC-D的大;
(III)求O點(diǎn)到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點(diǎn),且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求 異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,0是BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=a,AB=AD=
2
2
a

(1)求證:平面AOC⊥平面BCD;
(2)求二面角O-AC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD的各個(gè)面都是直角三角形,已知AB⊥BC,BC⊥CD,AB=a,BC=a,CD=c.
(1)若AC⊥CD,求證:AB⊥BD;
(2)求四面體ABCD的表面積.

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