Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，且過點$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的長軸在左右端點分別為A、B，P為直線：x=-2任一點，過P作橢圓C的切線l，切點為C，CD⊥AB．
①求證：PB平分線段CD；
②求△PBC面積的最大值，并求此時C點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，且過點$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）①求出B的坐標(biāo)，即可證明PB平分線段CD；
②表示出△PBC面積，可得最大值，并求此時C點坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，且過點$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{^{2}}$=1，
∴c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）①證明：設(shè)C（x₁，y₁），則切線PC的方程為$\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y$=1，
令x=-2，可得y=$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，即P（-2，$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∵B（2，0），∴直線PB的方程為y-0=-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$）（x-2），
令x=x₁，則y=$\frac{1}{2}$y₁，
∴PB平分線段CD；
②解：由①切線PC的方程為$\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y$=1，令y=0，可得x=$\frac{4}{{x}_{1}}$，
∴△PBC面積=$\frac{1}{2}•$（$\frac{4}{{x}_{1}}$-2）•|$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$-y₁|=|$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4{y}_{1}}$|=|y₁|≤1
∴△PBC面積的最大值為1，此時C點坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．