Question

16．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=2，AA₁=4，則球面O的表面積為（　�。�

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 32π
• C． 64π
• D． $\frac{64π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為1，球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性質(zhì)，求得半徑OA，再由球面O的表面積公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：根據(jù)對(duì)稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為2，
球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O'，
則O'A=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由球的截面的性質(zhì)，可得，OA²=OO'²+O'A²，
則有OA=$\sqrt{4+\frac{4}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
則球面O的表面積為4π•OA²=$\frac{64π}{3}$
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的截面的性質(zhì)，考查球與正三棱柱的關(guān)系，考查球的表面積運(yùn)算，屬于中檔題．