Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且△MF₂N的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若|MN|=$\frac{8}{5}$，求△MF₂N的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出橢圓方程中的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為x=ty-$\sqrt{3}$，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，由弦長求得t值，然后代入三角形面積公式求得△MF₂N的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，4a=8，∴a=2，c=$\sqrt{3}$．
又b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為x=ty-$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（{t}^{2}+4）{y}^{2}-2\sqrt{3}ty-1=0$．
設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{t}^{2}+4}$，
|MN|=$\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{1+{t}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{t}^{2}}\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}+4}}$=$\frac{8}{5}$，解得：t²=1．
∴${S}_{△M{F}_{2}N}$=$\frac{1}{2}•2c•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{3}•$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3}•\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}+4}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{12}{25}+\frac{4}{5}}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．