Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的斜率為k，k是mn的最小值，其中m，n滿足$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\sqrt{mn}$，且右焦點與拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點重合，則該雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 運用基本不等式可得mn≥2，求出最小值，由漸近線方程可得b=2a，求出拋物線的焦點，可得c，即a²+b²=5，解得a=1，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\sqrt{mn}$，可得m，n＞0，
由$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$，即有mn≥2，
當且僅當m=n=1時，取得最小值2．
由雙曲線的漸近線方程可得y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=2，
由拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點為（$\sqrt{5}$，0），
可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
解得a=1，b=2，
即有離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用基本不等式和拋物線的焦點坐標，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．