Question

1．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的一條漸近線與圓x²+（y-2）²=2至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $[\sqrt{2}，+∞）$
• B． [2，+∞）
• C． $（{1，\sqrt{2}}]$
• D． （1，2]

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心（0，2）到漸近線的距離d≥r，由點(diǎn)到直線的距離公式可得a的范圍，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的一條漸近線設(shè)為y=$\frac{x}{a}$，
由漸近線與圓x²+（y-2）²=2至多有一個(gè)交點(diǎn)，可得：
圓心（0，2）到漸近線的距離d≥r，
即有$\frac{|2a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$，
解得a≥1，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{1+{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$∈（1，$\sqrt{2}$]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．