Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為$\sqrt{3}$x-y=0，它的一個焦點在拋物線y²=4x的準線上．
（Ⅰ）求此雙曲線方程；
（Ⅱ）求以拋物線焦點為球心，且與雙曲線漸近線相切的球的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線的方程和漸近線方程的關(guān)系，可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，由拋物線的準線方程可得c=1，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）求出拋物線焦點，運用點到直線的距離公式可得球的半徑，由球的表面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
由一條漸近線為$\sqrt{3}$x-y=0，可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
又一個焦點在拋物線y²=4x的準線上，可得：
c=1，即a²+b²=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則雙曲線的方程為4x²-$\frac{4}{3}$y²=1；
（Ⅱ）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
由球與雙曲線漸近線相切，可得：
半徑r=$\frac{|\sqrt{3}-0|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得球的表面積為S=4πr²=4π•$\frac{3}{4}$=3π．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用拋物線的性質(zhì)，考查球的表面積的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．