Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點A（a，0），B（0，b），直線l交橢圓C于P，Q兩點（點A，B位于直線l的兩側(cè)）
（i）若直線l過坐標(biāo)原點O，設(shè)直線AP，AQ，BP，BQ的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，求證：k₁k₂+k₃k₄為定值；
（ii）若直線l的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求四邊形APBQ的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解得a，c，b²，即可得出．
（2）（i）A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$）．設(shè)直線l的方程為：y=kx，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀）．與橢圓方程聯(lián)立解得P，Q坐標(biāo)，再利用斜率計算公式即可證明．
（ii）設(shè)直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m，$（-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}）$．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：3x²+2$\sqrt{3}$mx+2m²-6=0，△＞0，解得$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PQ|=$\sqrt{（1+\frac{3}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，點A，B分別到直線l的距離d₁=$\frac{2|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{7}}$，d₂=$\frac{2|\sqrt{3}-m|}{\sqrt{7}}$．四邊形APBQ的面積S=$\frac{1}{2}nqbk9gn_{1}|PQ|$+$\frac{1}{2}dorcao4_{2}$|PQ|，即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
聯(lián)立解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：（i）A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$）．
設(shè)直線l的方程為：y=kx，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴P$（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}，\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}）$，Q$（-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}，-\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}）$．
∴k₁=$\frac{\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{3}-\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
k₂=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}{-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{3}+\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
k₃=$\frac{\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}$=$\frac{2k-\sqrt{3+4{k}^{2}}}{2}$，
k₄=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}-\sqrt{3}}{-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}$=$\frac{2k+\sqrt{3+4{k}^{2}}}{2}$．
∴k₁k₂+k₃k₄=$\frac{3{k}^{2}}{3-（3+4{k}^{2}）}$+$\frac{4{k}^{2}-（3+4{k}^{2}）}{4}$=$-\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$為定值．
（直接設(shè)點利用橢圓方程代入也可以得出）
（ii）設(shè)直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m，$（-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}）$．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：3x²+2$\sqrt{3}$mx+2m²-6=0，
△=12m²-12（2m²-6）=12（6-m²）＞0，解得$-\sqrt{6}≤m≤\sqrt{6}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-2\sqrt{3}m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{3}$．
∴|PQ|=$\sqrt{（1+\frac{3}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{7}{4}×（\frac{4{m}^{2}}{3}-4×\frac{（2{m}^{2}-6）}{3}）}$=$\sqrt{\frac{7（6-{m}^{2}）}{3}}$．
點A，B分別到直線l的距離d₁=$\frac{|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{1+\frac{3}{4}}}$=$\frac{2|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{7}}$，d₂=$\frac{|-\sqrt{3}+m|}{\sqrt{1+\frac{3}{4}}}$=$\frac{2|\sqrt{3}-m|}{\sqrt{7}}$．
∴四邊形APBQ的面積S=$\frac{1}{2}qthhvz4_{1}|PQ|$+$\frac{1}{2}k9m1now_{2}$|PQ|
=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{\frac{7（6-{m}^{2}）}{3}}$（$\frac{2|\sqrt{3}+m|}{\sqrt{7}}$+$\frac{2|\sqrt{3}-m|}{\sqrt{7}}$）
=2$\sqrt{6-{m}^{2}}$≤2$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取等號．
∴直線l經(jīng)過原點時，邊形APBQ的面積取得最大值2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式、二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．