Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=lnx+1，（2分）
令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）（4分）
令f'（x）＞0得：，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（6分）
（2）g′（x）=3x²+2ax-1，由題意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-x-恒成立�、伲�9分）
設(shè)h（x）=lnx--，則h′（x）=-=-
令h′（x）=0得：x=1，x=-（舍去）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；
當x＞1時，h'（x）＜0
∴當x=1時，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，則a≥-2，
即a的取值范圍是[-2，+∞）．（13分）
分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）
（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx-x-恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．這類題目是高考的常考題．