已知函數(shù)f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a為實常數(shù).
(1)當x∈[1,+∞)時,f′(x)>0恒成立,求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)g(x)=f′(x)-
ax1+x
的單調(diào)區(qū)間.
分析:(1)先求出函數(shù)f(x)的導函數(shù),將a分類出來得則a<ln(1+x)+
x
1+x
,然后利用導數(shù)研究不等式右式函數(shù)的最小值即可;
(2)先求出函數(shù)g(x)的解析式,求出導函數(shù)g'(x),討論a與1的大小,從而確定導函數(shù)的正負,當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.
解答:解:(1)由題意知:f′(x)=ln(1+x)+
x
1+x
-a>0

a<ln(1+x)+
x
1+x
,(2分)
h(x)=ln(1+x)+
x
1+x
,h′(x)=
1
1+x
+
1
(1+x)2

∵x∈[1,+∞),∴h'(x)>0
即h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增(4分)
a<h(1)=
1
2
+ln2
,
∴a的取值范圍是(-∞,
1
2
+ln2)
.(6分)
(2)由(1)知g(x)=ln(1+x)+
(1-a)x
1+x
-a,x∈(-1,+∞)

g′(x)=
1
1+x
+
1-a
(1+x)2
=
x+2-a
(1+x)2
(7分)
①當a>1,x∈(-1,a-2)時,g'(x)<0,g(x)在(-1,a-2)上單調(diào)遞減,
x∈(a-2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)在(a-2,+∞)上單調(diào)遞增(9分)
②當a≤1時,g'(x)>0,g(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增(11分)
綜上所述,當a>1時,g(x)的增區(qū)間為(a-2,+∞),減區(qū)間為(-1,a-2)
當a≤1時,g(x)的增區(qū)間為(-1,+∞)(12分)
點評:研究不等式恒成立問題常常利用參數(shù)分離法,考查了導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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