Question

貴州省2014年全省高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高服從正態(tài)分布N（168，16）．現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組[160，164），第2組[164，168），…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)；
（2）求全省高中男生身高排名（從高到低） 前130名中最低身高是多少；
（3）在這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，將該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學期望．
參考數(shù)據(jù)：
若X～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,頻率分布直方圖,離散型隨機變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）首先理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即：每組中包含個體的個數(shù)．我們可以依據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)；
（2）求出P（X≥180），即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖知，后3組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數(shù)為0.2×50=10，
即這50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人數(shù)為10．
（2）∵P（168-3×4＜X≤168+3×4）=0.9974，
∴P（X≥180）=

1-0.9974

2

=0.0013，0.0013×100 000=130．
∴全省高中男生身高排名（從高到低） 前130名中最低身高是180 cm；
（3）全省前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人．
隨機變量X可取0，1，2，于是
P（X=0）=

C 2 8

C 2 10

=

28

45

，P（X=1）=

C 1 8 C 1 2

C 2 10

=

16

45

，
P（X=2）=

C 2 2

C 2 10

=

1

45

，
∴E（X）=0×

28

45

+1×

16

45

+2×

1

45

=

2

5

．

點評：此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學習中需要掌握的關鍵．