Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（

1

2

）=2，且對于任意實數(shù)m，n有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，當x＞-

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2

時，f（x）＞0．
（1）求f（-

1

2

）的值；
（2）求證f（x）在定義域R上是單調遞增函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由于對于任意實數(shù)m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，令m=n=0，求出f（0）；再令m=

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，n=-

1

2

，可求出f（-

1

2

）．
（2）當x＞-

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2

時，f（x）＞0．即x+

1

2

＞0，證得f（x+

1

2

）＞1，即有x＞0時，f（x）＞1．設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，由條件即證得f（x₂）＞f（x₁）．再由單調性定義，即可得證．

解答： （1）解：由于對于任意實數(shù)m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
令m=n=0，則f（0）=f（0）+f（0）-1，
即f（0）=1，
再令m=

1

2

，n=-

1

2

，則f（0）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）-1=1，
由于f（

1

2

）=2，則f（-

1

2

）=0；
（2）證明：當x＞-

1

2

時，f（x）＞0．即x+

1

2

＞0，
由于對于任意實數(shù)m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
則f（x+

1

2

）=f（x）+f（

1

2

）-1=f（x）+1＞1，
即有x＞0時，f（x）＞1．
設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
則由f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1，得
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）．
故f（x）在定義域R上是單調遞增函數(shù)．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)及運用，解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時考查函數(shù)的單調性，注意運用定義證明，屬于中檔題．