設(shè)函數(shù)f(x)=ax-x(a>0,a≠1)
(1)若a=e(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若函數(shù)y=f(|x|)在全體實數(shù)R上恰有4個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)將a=e代入求出函數(shù)解析式,可得導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而求出f′(x)>0時和f′(x)<0時自變量的范圍,得到f(x)的單調(diào)區(qū)間,同時根據(jù)極值的定義,求出極值;
(2)函數(shù)y=f(|x|)是偶函數(shù),要使它在全體實數(shù)R上恰有4個零點,只須y=f(x)在(0,+∞)上有2個零點,即lna=
lnx
x
在(0,+∞)有2解,構(gòu)造函數(shù)g(x)=
lnx
x
,利用導(dǎo)數(shù)法,可求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=ex-x,則f′(x)=ex-1…(2分)
當(dāng)f′(x)>0時,解得x>0,f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)f′(x)<0時,解得x<0,f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減.…(2分)
所以x=0是極小值點,f極小值=f(0)=1…(2分)
(2)函數(shù)y=f(|x|)是偶函數(shù),要使它在全體實數(shù)R上恰有4個零點,只須y=f(x)在(0,+∞)上有2個零點,…(2分)
要使方程ax=x在(0,+∞)有2解,則有lna=
lnx
x
在(0,+∞)有2解,…(2分)
設(shè)g(x)=
lnx
x
,則g′(x)=
1-lnx
x2
…(1分)
當(dāng)x>e時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,且0<g(x)<
1
e

當(dāng)0<x≤e時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,且g(x)≤
1
e
…(4分)
根據(jù)圖象可知0<lna<
1
e
,
1<a<e
1
e
…(2分)
點評:本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值,其中熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值的方法步驟是解答的關(guān)鍵.
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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個數(shù)中任取一個數(shù),b是從2,3,4,5四個數(shù)中任取一個數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b的圖象經(jīng)過點(1,7),又其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,0),求函數(shù)的解析式,并求f(-2)、f(
12
)的值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+bx-cx,其中a,b,c是△ABC的三條邊,且c>a,c>b,則“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈(1,2),使f(x)=0”( �。�

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(2009•楊浦區(qū)一模)(文)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+1-2(a>1)的反函數(shù)為y=f-1(x),則f-1(-1)=
-1
-1

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精英家教網(wǎng)設(shè)函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是( �。�
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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