Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|，若x0∈R，不等式f（x0）≥0成立，
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若x+2y﹣m=6，是否存在x，y，使得x2+y2=19成立，若存在，求出x，y值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得函數(shù)f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|≥0有解，即 m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，

故 m大于或等于|2x+1|+|2x﹣3|的最小值．

由于|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴m≥4

（2）解：若x+2y﹣m=6，設(shè)存在x，y，使得x2+y2=19成立，則圓x2+y2=19和直線x+2y﹣m=6有交點(diǎn)，

即圓心（0，0）到直線x+2y﹣m﹣6=0的距離小于或等于半徑 ，

即 ≤ ，故當(dāng)﹣6﹣ ≤m≤﹣6+ 時(shí)，圓x2+y2=19和直線x+2y﹣m=6有交點(diǎn)．

由 ，求得 ，或

【解析】（1）由題意可得m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，利用絕對(duì)值三角不等式求得|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，可得m的范圍．（2）要使存在x，y，只要圓x2+y2=19和直線x+2y﹣m=6有交點(diǎn)，即圓心（0，0）到直線x+2y﹣m﹣6=0的距離小于或等于半徑 ，由此求得m的范圍．再解圓x2+y2=19和直線x+2y﹣m=6組成的方程組，求得直線和圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，即為所求的x、y的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．