Question

1．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，
AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若 B₁C₁⊥平面CEC₁，求二面角B₁-CE-C₁的余弦值；
（Ⅱ）在線(xiàn)段C₁E上是否存在一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，若存在，求EM：MC₁的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，求出平面B₁CE和平面CEC₁的一個(gè)法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值，則二面角B₁-CE-C₁的正弦值可求；
（Ⅱ）利用共線(xiàn)向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和C₁的坐標(biāo)及待求系數(shù)λ表示，求出平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量，利用向量求線(xiàn)面角的公式求出直線(xiàn)AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值，求出λ的值即可求．

解答 解：（Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），E（0，1，0）．
設(shè)平面B₁CE的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
可得$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（1，-2，1）$，$\overrightarrow{CE}=（-1，1，-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=x-2y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x+y-z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（-3，-2，1）$，
又B₁C₁⊥平面CEC₁，故$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=（1，0，-1）$為平面CEC₁的一個(gè)法向量，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sin$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}＞$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以二面角B₁-CE-C₁的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
（Ⅱ）可得$\overrightarrow{AE}=（0，1，0），\overrightarrow{E{C}_{1}}=（1，1，1）$．$\overrightarrow{AB}$=（0，0，2）為平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量，
設(shè)$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{E{C}_{1}}=（λ，λ，λ），（0≤λ≤1）$，則$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}=（λ，λ+1，λ）$．
設(shè)θ為直線(xiàn)AM與平面ADD₁A₁所成的角，
則sinθ=cos$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}＞$=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+（λ+1）^{2}+{λ}^{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，得$λ=\frac{1}{3}$，
∴EM：MC₁=1：2．
∴在線(xiàn)段C₁E上存在一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，且EM：MC₁的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，考查了線(xiàn)面角和二面角的求法，運(yùn)用了空間向量法，運(yùn)用此法的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，再就是理解并掌握利用向量求線(xiàn)面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中檔題．