Question

16．在四邊形ABCD中，已知BC=2，DC=4，且∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10
（1）求BD的長；
（2）求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據(jù)∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求出C的度數(shù)，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出BD的長；
（2）利用勾股定理的逆定理求出∠CBD為直角，進(jìn)而求出∠ABD的度數(shù)，得到∠BDA的度數(shù)，在三角形ABD中，利用正弦定理求出AB的長即可．

解答 解：（1）連結(jié)BD，由題意得∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=60°，∠ADC=150°，
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=4+16-8=12，
解得：BD=2$\sqrt{3}$．
（2）∵BD²+BC²=CD²，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABD=15°，
∴∠BDA=120°，
在△ABD中，由正弦定理$\frac{AB}{sin∠ADB}$=$\frac{BD}{sinA}$，
則AB=$\frac{BD•sin∠ADB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．