Question

數(shù)列{K_n}定義如下：K₁=，K_n+1=，n∈N^*．
（1）求K₂，K₃的值；
（2）寫出{K_n}的通項(xiàng)；
（3）若數(shù)列{T_n}定義為：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，
①證明：T_n＜T_n+1，n∈N^*；               ②證明：T_n＜7，n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過已知條件，n=2，3，直接求K₂，K₃的值；
（2）利用K₁，K₂，K₃的值，找出規(guī)律，直接推測(cè)出{K_n}的通項(xiàng)公式；
（3）①利用數(shù)列{T_n}定義為：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，直接求出，推出它的值小于1；
②利用當(dāng)0＜x＜時(shí)，sinx＜x，推出T_n的值，通過放縮得到證明的結(jié)果．
解答：解：（1）K₂===2sin，K₃==2sin （其他合理答案也給分）．
（2）設(shè)K₁=2sin，則K₂=
==
==2sin．
一般地，若K_k=2sin，則由遞推關(guān)系可知：K_k+1=2sin∴{K_n}的通項(xiàng)公式為 K_n=2sin （n∈N）
（3）①∵T_n=2ⁿ⁺²sin，于是
==cos＜1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*
②因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時(shí)，sinx＜x，所以T_n=2ⁿ⁺²sin＜2ⁿ⁺²×=2π＜7．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查探索性問題，放縮法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．