Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0．b＞0）與橢圓

x2

36

+

y2

32

=1有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（3，

7

）在雙曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）以P（1，2）為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓方程可求其焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)A（3，

7

）在雙曲線C上，根據(jù)雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，即可求出所求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線，兩方程相減，借助于P（1，2）為中點(diǎn)，可求弦AB所在直線的斜率，進(jìn)而可求其方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
由雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，
∴

25+7

-

1+7

=2a
∴a=

2

，
∴b²=2
∴所求雙曲線為

x2

2

-

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A、B在雙曲線上
∴代入雙曲線，兩方程相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
∵P（1，2）為中點(diǎn)，
∴k_AB=

1

2

，
∴弦AB的方程為y-2=

1

2

（x-1），即x-2y+3=0
經(jīng)檢驗x-2y+3=0為所求直線方程．

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查弦中點(diǎn)問題，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．