Question

若函數(shù)f（x）=x²-2x+1+alnx在x₁，x₂取得極值，且x₁＜x₂，則f（x₂）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，由x₁、x₂的關(guān)系，用x₂把a(bǔ)表示出來，求出f（x₂）的表達(dá)式最小值即可．

解答： 解：由題意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，解得a＜

1

2

，
方程的兩根為x₁=

1- 1-2a

2

，x₂=

1+ 1-2a

2

，
∴x₁+x₂=1，
0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當(dāng)t∈（

1

2

，1）時(shí)，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函數(shù)．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．
故答案為：（

1-2ln2

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查最值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．