Question

若函數(shù)y=

1-ax

1+ax

（x≠-

1

a

，x∈R）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求a的值．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象本身關(guān)于直線y=x對(duì)稱知，原函數(shù)與它的反函數(shù)相同，從而比較系數(shù)求得a值．

解答：解：由y=

1-ax

1+ax

，解得x=

1-y

ay+a

．
故函數(shù)y=

1-ax

1+ax

的反函數(shù)為y=

1-x

ax+a

．
∵函數(shù)y=

1-ax

1+ax

的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴函數(shù)y=

1-ax

1+ax

與它的反函數(shù)y=

1-x

ax+a

相同．
由

1-ax

1+ax

=

1-x

ax+a

恒成立，
得a=1．
答：a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，本題還可以利用特殊點(diǎn)來解，解法二：∵點(diǎn)（0，1）在函數(shù)y=

1-ax

1+ax

的圖象上，且圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∴點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)（1，0）也在原函數(shù)圖象上，代入得a=1．