Question

已知函數(shù)f(x)=

1-ax

1+x

x²
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線與直線y=x垂直，求a的值；
（2）若對任意x＞0，恒有f（x）＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

e^x，由已知f′（0）=-1，能求出a．
（2）由f′(x)=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，（x＞0）令g（x）=-ax²+（1-a）x-a，則f′（x）與g（x）的符號相同．由此進行分類討論，能夠推導出當a≤0時，對任意x＞0，恒有f（x）＞1．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-ax

1+x

x²，
∴f′(x)=[

-a(1+x)-(1-ax)

(1+x)2

+

1-ax

1+x

]ex
=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

e^x，
由已知f′（0）=-1，
∴-a=-1，得a=1．
（2）由f′(x)=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，（x＞0）
令g（x）=-ax²+（1-a）x-a，
則f′（x）與g（x）的符號相同．
（i）當a=0時，g（x）=x＞0．
即f′（x）在（0，+∞）上大于0．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=1．
（ii）當a＜0時，g（x）=-ax²+（1-a）x-a的圖象是開口向上的拋物線，
∵對稱軸x=

1-a

2a

＜0，
∴x＞0時，g（x）＞g（0）=-a＞0，
即f′（x）在（0，+∞）上大于0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=1．
（iii）當a＞0時，令g（x）=0，得-ax²+（1-a）x-a=0，
由△=（1-a）²-4a²＞0，得-1＜a＜

1

3

．
∴當0＜a＜

1

3

時，g（x）=0有兩個不等的實根x₁，x₂，設x₁＜x₂，
∵x₁x₂=1＞0，x1+x2=

1-a

a

＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴f′（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上小于0，在（x1，x2 ）上大于0，
∴函數(shù)f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上為減函數(shù)，在（x1，x2 ）上為增函數(shù)，
∴存在x₀∈（0，x₁），使f（x₀）＜f（0）=1，
當a≥

1

3

時，△=（1-a）²-4a²≤0，
∴x＞0時，g（x）≤0，
即f′（x）在（0，+∞）上小于或等于0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）＜f（0）=1，
綜上所述，當a≤0時，對任意x＞0，恒有f（x）＞1．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程的綜合運用，考查推理論證能力和解題運算能力，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活運用．