Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩點，若△FPQ是邊長為2的正三角形，則p的值是（　�。�

• A． $2±\sqrt{3}$
• B． $2+\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}±1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由拋物線y²=2px方程可得焦點坐標，由對稱性結(jié)合三角形的邊角關(guān)系可得|$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{2p}$|=$\sqrt{3}$，解方程可得．

解答 解：y²=2px的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），（p＞0）
∵正三角形PQF的一個頂點位于拋物線的焦點F，另外兩個頂點在拋物線上，
∴正三角形PQF關(guān)于x軸對稱，∴P（x₀，1），由P（x₀，1）在拋物線上可得1=2px₀，
∴x₀=$\frac{1}{2p}$，∴焦點F到直線AB的距離|$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{2p}$|=$\sqrt{3}$，
解得：p=2±$\sqrt{3}$，
故選A．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，涉及三角形的知識，屬于中檔題．