Question

9．如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB=3，AC=6，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（　　） 

• A． 8
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，用坐標表示出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，代入向量的數(shù)量積公式計算．

解答 解：以BC為x軸，以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖

∵AB=3，AC=6，∠BAC=90°，BC=3$\sqrt{5}$，
∵$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，sinC=cosB
∴sinB=2cosB，
∵sin²B+cos²B=1
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴A（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），E（$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)（2$\sqrt{5}$，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），
$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{7\sqrt{5}}{5}$+（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$）²=10．
故選B．

點評 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，建立合適坐標系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．