分析 (I)列出梯形ABCD的面積 SABCD=$\frac{2cosθ+2}{2}$-sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
求解體積V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,$\frac{π}{2}$).
(II)得出g(θ)=-2sin2$\frac{θ}{2}$+2sin$\frac{θ}{2}$+2,利用二次函數求解即可.
(III)V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,$\frac{π}{2}$),求解導數得出V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)=10(2cosθ-1)(cosθ+1),根據導數與單調性的關系求解.
解答 解:(Ⅰ)木梁的側面積S=10(AB+2BC+CD)
=10(2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ)=20(cosθ+2sin$\frac{θ}{2}$+1),θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
梯形ABCD的面積SABCD=$\frac{2cosθ+2}{2}$-sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
體積V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,$\frac{π}{2}$);
(Ⅱ)木梁的側面積S=10(AB+2BC+CD)=10(2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ)
=20(cos$θ+2sin\frac{θ}{2}$+1),θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
設g(θ)=cos$θ+2sin\frac{θ}{2}$+1,g(θ)=-2sin2$\frac{θ}{2}$+2sin$\frac{θ}{2}$+2,
∴當sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
即θ=$\frac{π}{3}$時,木梁的側面積s最大.
所以θ=$\frac{π}{3}$時,木梁的側面積s最大為40m2.
(Ⅲ)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)=10(2cosθ-1)(cosθ+1)
令V′(θ)=0,得cosθ=$\frac{1}{2}$,或cosθ=-1(舍)∵θ∈(0,$\frac{π}{2}$),∴θ=$\frac{π}{3}$.
當θ∈(0,$\frac{π}{3}$)時,$\frac{1}{2}$<cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)為增函數;
當θ∈($\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$)時,0<cosθ<,V′(θ)>0,V(θ)為減函數.
∴當θ=$\frac{π}{3}$時,體積V最大.
點評 本題考查了三角函數在解決實際問題中的運用,導數在解決復雜函數最值中的運用,關鍵準確求解導數.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{32}{3}$(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$) | B. | $\frac{32}{3}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$) | C. | 16(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$) | D. | 16(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$) |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{6}$米 | B. | 2$\sqrt{6}$米 | C. | 6米 | D. | 8米 |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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