Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（　　）

• A． $\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• B． $\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
• C． 16（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• D． 16（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）

Answer 1

分析 推導(dǎo)出{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，由此能出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}q=2}\\{{a}_{5}={a}_{1}{q}^{4}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=4，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}{a}_{n+1}=（4×\frac{1}{{2}^{n-1}}）（4×\frac{1}{{2}^{n}}）$=8×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，
∴{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{8（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列有前n項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．