Question

19．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物，它是形成霧霾天氣的主要原因之一．PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好.2012年2月29日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》見(jiàn)表：
針對(duì)日趨嚴(yán)重的霧霾情況各地環(huán)保部門(mén)做了積極的治理．馬鞍山市環(huán)保局從市區(qū)2015年11月～12月和2016年11月～12月的PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)來(lái)分析治理效果．樣本數(shù)據(jù)如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）

PM2.5日均值k（微克）	空氣質(zhì)量等級(jí)
k≤35	一級(jí)
35＜k＜75	二級(jí)
k＞75	超標(biāo)

（Ⅰ）分別求這兩年樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均值，并以此推斷2016年11月～12月的空氣質(zhì)量是否比2015年同期有所提高？
（Ⅱ）在2016年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天，以X表示抽到空氣質(zhì)量為一級(jí)的天數(shù)，求X的分布列與期望．
 

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)計(jì)算公式即可得出．
（2）2016年的15個(gè)數(shù)據(jù)中有4天空氣質(zhì)量為一級(jí)，故X的所有可能取值是0，1，2，3，利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{11}^{k}}{{∁}_{15}^{3}}$即可得出．

解答 解：（1）2015年數(shù)據(jù)的中位數(shù)是58，平均數(shù)是$\frac{28+31+31+41+41+44+45+58+60+61+75+77+84+92+98}{15}$≈57.3
2016年數(shù)據(jù)的中位數(shù)是51，平均數(shù)是$\frac{17+18+23+30+39+39+49+51+52+55+58+62+63+69+70}{15}$
≈46.3．
2016年11月～12月比2015年11月～12月的空氣質(zhì)量有提高．
（2）2016年的15個(gè)數(shù)據(jù)中有4天空氣質(zhì)量為一級(jí)，故X的所有可能取值是0，1，2，3，
利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{11}^{k}}{{∁}_{15}^{3}}$可得：
P（X=0）=$\frac{33}{91}$，P（X=1）=$\frac{44}{91}$，P（X=2）=$\frac{66}{455}$，P（X=3）=$\frac{4}{455}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{4}{455}$

E（X）=0+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查統(tǒng)計(jì)和離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．