Question

9．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1}{2x}$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-m．若函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m=f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求出f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上的范圍，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{2x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即m=f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
由（Ⅰ）f（x）在[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，1]遞增，
故f（x）的最小值是f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，而f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{e}{2}$-1＜f（1）=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{e}{2}$-1＜m≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．