Question

17．設(shè)集合A={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=5}，B={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=20}，C={（x，y）|2|x+3|+|y-4|=λ}，若（A∪B）∩C≠∅，則實數(shù)λ的取值范圍是[$\sqrt{5}$ 10]．

Answer 1

分析 集合A，B表示以（-3，4）為圓心，半徑分別為$\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}$的圓，集合C在λ＞0時，表示以（-3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，若（A∪B）∩C≠∅，則菱形與A或B圓有交點，進(jìn)而可得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：集合A={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=5}表示以（-3，4）點為圓心半徑為$\sqrt{5}$的圓，
集合B={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=$2\sqrt{5}$}表示以（-3，4）點為圓心半徑為$2\sqrt{5}$的圓，
集合C={（x，y）|2|x+3|+|y-4|=λ}在λ＞0時，表示以（-3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，
如下圖所示：

若（A∪B）∩C≠∅，則菱形與A或B圓有交點，
當(dāng)λ＜$\sqrt{5}$時，菱形在小圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點，不滿足題意；
當(dāng)菱形與大圓相切時，圓心（-3，4）到菱形2|x+3|+|y-4|=λ任一邊的距離等于大于半徑，
當(dāng)x＞-3，且y＞4時，菱形一邊的方程可化為2x+y+2-λ=0，
由d=$\frac{|-6+4+2-λ|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，得：λ=10，
故λ＞10時，兩圓均在菱形內(nèi)部，與菱形無交點，不滿足題意．
綜上實數(shù)λ的取值范圍是[$\sqrt{5}$，10]，
故答案為：[$\sqrt{5}$ 10]．

點評 本題考查的知識點是集合的交集，并集，補(bǔ)集運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，熟練掌握并正確理解集合運(yùn)算的定義是解答的關(guān)關(guān)鍵，是中檔題．