Question

8．如圖，點(diǎn)A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別在第一、二象限，點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，角∠AOB=$\frac{π}{4}$，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$），記∠COA=α．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求sinα，cosα的值，利用二倍角公式即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)余弦函數(shù)公式分別求出cos∠COB，sin∠COB的值即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$=$\frac{1+2sinαcosα}{2co{s}^{2}α}$=32…6分
（Ⅱ）∵角∠AOB=$\frac{π}{4}$，
∴cos∠COB=cos（α+$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin∠COB=sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$，
∴點(diǎn)B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的定義，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．