Question

5．△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分別是邊AD和BE的中點(diǎn)，平面BCH與AE、AF分別交于I、G兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：IH∥BC；
（Ⅱ）求二面角A-GI-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出ED∥BC，從而ED∥平面BCH，進(jìn)而ED∥HI，由此能證明IH∥BC．
（Ⅱ） 以D為原點(diǎn)為，DE為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-GI-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)镈、E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，所以ED∥BC，
因?yàn)锽C?平面BCH，ED?平面BCH，
所以ED∥平面BCH，
因?yàn)镋D?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI，
所以ED∥HI，
又因?yàn)镋D∥BC，所以IH∥BC．
解：（Ⅱ） 如圖，以D為原點(diǎn)為，DE為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F(xiàn)（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），
$\overrightarrow{EA}=（-2，0，2）$，$\overrightarrow{EF}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CH}=（0，-2，1）$，$\overrightarrow{HI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=（1，0，0）$，
設(shè)平面AGI的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{n_1}=0\\ \overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n_1}=0\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}-\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{z_1}=0\\ \overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{y_1}=0\end{array}\right.$，令$\overrightarrow{z_1}=1$，解得$\overrightarrow{x_1}=1$，$\overrightarrow{y_1}=-1$，則$\overrightarrow{n_1}=（1，-1，1）$設(shè)，
平面CHI的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CH}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{HI}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}-2\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{z_2}=0\\ \overrightarrow{x_2}=0\end{array}\right.$，令$\overrightarrow{z_2}=-2$，解得$\overrightarrow{y_1}=-1$，則$\overrightarrow{n_2}=（0，-1，-2）$，
$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{|{1-2}|}}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，
所以二面角A-GI-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．