Question

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=ln（1+x²）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設(shè)F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）原不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0，由-1∈M，2∈M得

a-b+1≥0 4a+2b+1≥0

畫(huà)出不等式組所確定的可行域，利用線性規(guī)劃的方法即可求得z的取值范圍；
（2）對(duì)F（x）求導(dǎo)數(shù)得F/(x)=

2x

1+x2

+b=

bx2+2x+b

1+x2

，下面對(duì)字母b進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)b=0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；當(dāng)b＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)-1＜b＜0時(shí)，討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性即可．

解答：解：（1）解：不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得

a-b+1≥0 4a+2b+1≥0

----------------（2分）
畫(huà)出不等式組所確定的可行域如右圖示：作平行線族b=3a-z
可見(jiàn)當(dāng)a=-0.5，b=0.5時(shí)z有最小值，，z_min=-2--------------------（5分）
∴z的取值范圍為z≥-2．----------------------------------------（6分）
（2）∵F（x）=bx+ln（1+x²）
∴F/(x)=

2x

1+x2

+b=

bx2+2x+b

1+x2

----------------（8分）
當(dāng)b=0時(shí)，F/(x)=

2x

1+x2

＞0?x＞0
∴F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；-----------------（9分）
當(dāng)b＜0時(shí)，由bx²+2x+b=0的判別式△=4-4b²=0，得b=-1∴F′（x）≤0
當(dāng)b≤-1時(shí)，對(duì)x∈R恒成立
∴F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；-----------------------（10分）
當(dāng)-1＜b＜0時(shí)，由F′（x）＞0得：bx²+2x+b＞0
解得：

-1+ 1-b2

b

＜x＜

-1- 1-b2

b

由F′（x）＜0可得：x＞

-1- 1-b2

b

或x＜

-1+ 1-b2

b

-----------------------（12分）
∴當(dāng)-1＜b＜0時(shí)F（x）在(

-1+ 1-b2

b

，

-1- 1-b2

b

)上單調(diào)遞增，
在(-∞，

-1+ 1-b2

b

)和(

-1- 1-b2

b

，+∞)上單調(diào)遞減．-------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．