Question

20．△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c，則下列說法正確的有②③（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①若a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=30°，則B=60°
②若sinA＞sinB，則a＞b，反之也成立
③若c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，則△ABC一定是直角三角形
④若b²=ac且cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB，則B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 ①若a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=30°，由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于B∈（0°，180°），即可得出；
②由sinA＞sinB，利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即可判斷出真假．
③由c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，由正弦定理可得：sin²Csin²B+sin²Bsin²C=2sinBsinCcosBcosC，化為：cos（B+C）=0，即可判斷出真假；④若b²=ac，利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC．由cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+cos（A+C），化為：sinAsinC=$\frac{3}{4}$，即可判斷出真假．

解答 解：①若a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=30°，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}sin3{0}^{°}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0°，180°），b＞a，
則B=60°或120°，因此不正確．
②若sinA＞sinB，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，∴a＞b，反之也成立，正確．
③若c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，由正弦定理可得：sin²Csin²B+sin²Bsin²C=2sinBsinCcosBcosC，化為：sinBsinC=cosBcosC，
∴cos（B+C）=0，∵0＜B+C＜π，∴B+C=$\frac{π}{2}$，則△ABC一定是直角三角形，正確．
④若b²=ac，則sin²B=sinAsinC．由cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+cos（A+C），化為：sinAsinC=$\frac{3}{4}$．∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B∈（0，π），則B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$，由b²=ac，可知：B不是最大角，因此是銳角，∴B=$\frac{π}{3}$，因此不正確．
綜上可得：正確的為②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的應(yīng)用、三角形內(nèi)角和定理、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．