Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrowybnpwbk$為非零向量，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$\overrightarrowekpwdov$，求證|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|?$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrowotakrdk$，并解釋其幾何意義．

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的充要條件及數(shù)量積的運算便可由$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$得出$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowscfktfm$，反過來由$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowhqxcnqw$可以得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，這樣便證出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|?\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowscjjsdd$，而由向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則即可說明該結論的幾何意義．

解答 證明：（1）若$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，則：
$\overrightarrow{c}•\overrightarrowfubhpwb=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowhmaahuy$；
（2）若$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowhvyhqqz$，則：$\overrightarrow{c}•\overrightarrowafrryjm=0$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
∴綜上得，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|?\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowyotyclw$；
其幾何意義為菱形的對角線互相垂直，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形．

點評 考查充要條件的證明方法和過程，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的運算，向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則，菱形的性質(zhì)．