Question

3．已知橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若F₁，F(xiàn)₂為其左右兩個焦點，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點．
①若|AB|=2，求|AF₂|+|BF₂|的值；
②若∠F₁AF₂=30°，求△F₁AF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和準(zhǔn)線方程，解方程可得a，c的值，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，可得b的值，且橢圓的焦點在x軸，即可得到所求橢圓方程；
（2）運用橢圓的定義，可得△F₁AF₂的周長為4a，計算即可得到|AF₂|+|BF₂|的值；
②利用橢圓的定義，可求得|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|F₁F₂|=2c=2，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|，再利用面積公式即可求得△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂．

解答 解：（1）橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，一條準(zhǔn)線方程為x=4，
可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①由橢圓的定義，可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=4，
若|AB|=2，則|AF₂|+|BF₂|=4a-|AF₁|-|BF₁|=4a-|AB|=8-2=6；
②∵a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
又|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|F₁F₂|=2c=2，∠F₁AF₂=30°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|+|AF₂|）²-（2+$\sqrt{3}$）|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²-（2+$\sqrt{3}$）|AF₁|•|AF₂|，
∴（2+$\sqrt{3}$）|AF₁|•|AF₂|=4b²=12，
∴|AF₁|•|AF₂|=12（2-$\sqrt{3}$），
∴△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×12（2-$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=6-3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，著重考查橢圓的定義與a、b、c之間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．