Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）= +bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=﹣2時，函數h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設φ（x）=e2x+bex ， x∈[0，ln2]，求函數φ（x）的最小值；
（Ⅲ）設函數f（x）的圖象C1與函數g（x）的圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）依題意：h（x）=lnx+x2﹣bx． ∵h（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴ 對x∈（0，+∞）恒成立，
∴ ，∵x＞0，則 ．
∴b的取值范圍是 ．
（II）設t=ex ， 則函數化為y=t2+bt，t∈[1，2]．
∵ ．
∴當 ，即 時，函數y在[1，2]上為增函數，
當t=1時，ymin=b+1；當1＜﹣ ＜2，即﹣4＜b＜﹣2時，當t=﹣ 時， ；
，即b≤﹣4時，函數y在[1，2]上是減函數，
當t=2時，ymin=4+2b．
綜上所述：
（III）設點P、Q的坐標是（x1 ， y1），（x2 ， y2），且0＜x1＜x2 ．
則點M、N的橫坐標為 ．
C1在點M處的切線斜率為 ．
C2在點N處的切線斜率為 ．
假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1=k2 ．
即 ．則
= ，
∴ 設 ，則 ，（1）
令 ，則 ，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上單調遞增，
故r（u）＞r（1）=0，則 ，與（1）矛盾！
【解析】（I）根據a=﹣2時，函數h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內是增函數，知道h′（x）在其定義域內大于等于零，得到一個關于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；（II）先設t=ex ， 將原函數化為關于t的二次函數，最后將原函數φ（x）的最小值問題轉化成二次函數在某區(qū)間上的最值問題即可；（III）先假設存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行，利用導數的幾何意義求出切線的斜率進而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標，如出現(xiàn)矛盾，則不存在；若不出現(xiàn)矛盾，則存在．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．