Question

12．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等邊三角形，且AA₁⊥底面ABC，M為AA₁的中點(diǎn)，N在線段AB上，且AN=2NB，點(diǎn)P在CC₁上．
（1）證明：平面BMC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）當(dāng)$\frac{CP}{P{C}_{1}}$為何值時(shí)，有PN∥平面BMC₁？

Answer 1

分析 （1）連接B₁C，與BC₁交于O，連接MO，則MO⊥BC₁，取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，OQ，則AQ∥MO，證明：MO⊥平面BCC₁B₁，即可證明平面BMC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）取AE=2EM，則NE∥BM，$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{5}$時(shí)，EM∥PC₁，四邊形EMPC₁是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接B₁C，與BC₁交于O，連接MO，則MO⊥BC₁，
取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，OQ，則AQ∥MO，
∵CC₁⊥AQ，∴CC₁⊥MO，
∵BC₁∩CC₁=C₁，∴MO⊥平面BCC₁B₁，
∵M(jìn)O?平面BMC₁，
∴平面BMC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：取AE=2EM，則NE∥BM，
∵NE?平面BMC₁，BM?平面BMC₁，
∴NE∥平面BMC₁，
$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{1}{5}$時(shí)，EM∥PC₁，四邊形EMPC₁是平行四邊形，∴MC₁∥EP，∴EP∥平面BMC₁，
∵NE∩EP=E，∴平面NEP∥∥平面BMC₁，
∴PN∥平面BMC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．